Ausgabe: 1/2006, Seite 53   -  Erde & Weltall

EIN GANZES UNIVERSUM ALS ZEITMASCHINE

Albert Einstein war verblüfft: Die Allgemeine Relativitätstheorie erlaubt Universen mit einer zyklischen Zeit.

Rüdiger Vaas
 

„Es gibt eine Theorie, die besagt, wenn jemals irgendwer genau herausfindet, wozu das Universum da ist und warum es da ist, dann verschwindet es auf der Stelle und wird durch noch etwas Bizarreres und Unbegreiflicheres ersetzt“, schrieb der britische Schriftsteller Douglas Adams in seinem Kultbuch „Das Restaurant am Ende des Universums“ im Jahr 1980. Und er fügte hinzu: „Es gibt eine andere Theorie, nach der das schon passiert ist.“

Ein Kandidat für Universen im Douglas’schen Sinn sind die Gödel-Universen, die der österreichische Mathematiker Kurt Gödel entdeckte, als er wie Albert Einstein am Institute for Advanced Study in Princeton forschte. Gödel war damals bereits berühmt, denn er hatte prinzipielle Grenzen der Mathematik und Logik erkannt, mit denen niemand gerechnet hatte: Er formulierte 1931 zwei Aufsehen erregende Theoreme, die beweisen, dass es in der Mathematik Systeme gibt, die widerspruchsfrei sind, ohne dass sich dies beweisen lässt, und dass sie Sätze enthalten, bei denen nicht entschieden werden kann, ob sie im Rahmen des jeweiligen Systems ableitbar sind oder nicht. „Das Faszinierende ist, dass jedes derartige System sich sein eigenes Grab schaufelt; der Reichtum des Systems führt seinen Sturz herbei“, kommentierte der amerikanische Mathematiker Douglas R. Hofstadter in seinem Bestseller „Gödel, Escher, Bach“ (1979). Gödels kosmologisches Modell hat mit seinen mathematischen Einsichten freilich nichts zu tun. Es strapaziert die Logik jedoch ebenfalls aufs Äußerste. Denn er fand eine universelle Zeitmaschine als eine exakte Lösung von Einsteins Gleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie und demonstrierte damit erstmals, wie Zeitreisen im Rahmen der relativistischen Kosmologie möglich sind.

Am 10. Mai 1949 verfasste Gödel einen Brief an seine Mutter in Wien, in dem er sich dafür entschuldigte, dass er mehrere Wochen nicht geschrieben hatte. Ein Problem habe ihn so sehr beschäftigt, dass er, selbst wenn er Radio gehört hätte oder im Kino gewesen wäre, dies „nur mit einem halben Ohr“ getan hätte. Doch nun sei er so weit, wieder ruhig schlafen zu können.

Tatsächlich hatte er drei Tage zuvor, am 7. Mai 1949, sein Ergebnis in einem Seminarvortrag am Institute for Advanced Study vorgestellt, den neben Albert Einstein auch der spätere Physik-Nobelpreisträger Subrahmanyan Chandrasekhar und der „Vater“ der amerikanischen Atombombe, Robert J. Oppenheimer, hörten. Gödel veröffentlichte seine Resultate im gleichen Jahr in einer Ausgabe der renommierten Fachzeitschrift „Review of Modern Physics“, die Einsteins 70. Geburtstag gewidmet war. Die Entdeckung war ein rotierendes, geschlossenes, stationäres Universum mit negativer Kosmologischer Konstante. Seine Zeit läuft kreisförmig in sich selbst zurück, sodass ein Flug in den Raum hinaus zugleich eine Reise in die Zukunft oder Vergangenheit bedeutet. (Interessant für Science-Fiction-Fans: Dies zeigt, dass Zeitreisen keinesfalls in Sprüngen mit Ent- und Rematerialisierung erfolgen müssen.)

Das ausführlichere handschriftliche Vortragsmanuskript des genialen Mathematikers ist erst 1995 gedruckt worden. Darin beschrieb Gödel auch, wie er auf das Thema gekommen war – nämlich durch philosophische Anstöße: „Ich arbeitete an der Verbindung von Kant und der Relativitätstheorie und insbesondere an der Ähnlichkeit, welche zwischen Kant und der relativistischen Physik insofern besteht, als in beiden Theorien die objektive Existenz einer Zeit im Newtonschen Sinne verneint wird.“

Gödels Universum war die erste Lösung mit Rotation, mit konstanter Winkelgeschwindigkeit gegenüber dem lokalen Trägheitskompass. (Die Schwingungsebene eines Foucault-Pendels dreht sich hier für einen mitbewegten Beobachter, der ein solches unbeschleunigtes Bewegungssystem verkörpert.) Das Universum ist also homogen (überall gleichförmig), aber nicht isotrop (wegen der Rotation nicht in allen Richtungen gleichartig). Die Materie wird, wie in vielen Modellen üblich, als ideale, druckfreie Flüssigkeit repräsentiert, die rotiert, aber nicht expandiert – eine Art von kosmischem Staub. Die Weltlinien sind ohne Anfang und Ende, ohne Überschneidungen und Singularitäten. Sie laufen aber in sich zurück. Um in diesem seltsamen Universum in die eigene Vergangenheit zu gelangen, kann man dennoch nicht einfach abwarten, sondern muss sich beschleunigt durchs All bewegen, braucht also Raketen oder dergleichen.

Das hatte schon Gödel erkannt. Er schrieb: „Wenn wir nämlich auf einem Raumschiff eine Rundfahrt in einer genügend großen Kurve machen, ist es in diesen Welten möglich, in eine beliebige Region der Vergangenheit, Gegenwart oder Zukunft und wieder zurück zu reisen, genauso wie es in anderen Welten möglich ist, in entfernte Teile des Raums zu reisen.“ Und er sah auch die alarmierenden Konsequenzen: „Diese Sachlage scheint eine Absurdität zu enthalten, denn es wäre uns dann zum Beispiel möglich, in die nahe Vergangenheit der Orte zu reisen, an denen wir selbst gelebt haben. Dort würde ein solcher Reisender eine Person finden, die er selbst in einem früheren Abschnitt seines Lebens wäre. Nun könnte er dieser Person etwas zufügen, von dem er seiner Erinnerung nach weiß, dass es ihm niemals zugestoßen ist.“ Gödel zufolge können solche kausalen Paradoxien – er nannte sie „Widersprüche“ – jedoch nicht die „Unmöglichkeit derartiger Welten“ beweisen.

Einstein hat dieses seltsame Modell begrüßt: „Gödels Arbeit liefert einen wichtigen Beitrag zur Allgemeinen Relativitätstheorie und besonders zur Analyse des Zeitbegriffs. Die damit zusammenhängenden Probleme beschäftigten mich schon bei der Entwicklung der Theorie, ohne dass ich sie geklärt hätte.“ Einstein soll dem österreichischen Ökonomen Oskar Morgenstern zufolge, der damals ebenfalls in Princeton lebte, sogar gesagt haben, Gödels Arbeiten seien die wichtigsten Beiträge zur Relativitätstheorie seit seinen eigenen Arbeiten. Aber Einstein war auch skeptisch: „Es wird interessant sein zu erwägen, ob diese nicht aus physikalischen Gründen auszuschließen sind.“

Auch Gödel meinte, es würde unsere praktischen Möglichkeiten übersteigen, die Widersprüche zu realisieren. Denn dazu seien Geschwindigkeiten von über 50 Prozent der Lichtgeschwindigkeit nötig. Neuere Untersuchungen – unter anderem von Joachim Pfarr sowie von István Ozsváth und Engelbert Schücking – haben dies bestätigt.

Setzt man 10–30 Gramm pro Kubikzentimeter – die mittlere Massendichte unseres Universums – in die Gleichungen für die Energie-Impuls-Dichte des Materiestroms ein, sind alle Konstanten fixiert. Dann beträgt die Rotationsdauer des GödelUniversums etwa 200 Milliarden Jahre, also mehr als das Zehnfache des bisherigen Alters unseres Universums. Für die Wiederkehrzeit des Lichts zu einer Materieweltlinie erhält man einen Wert von etwa 60 Milliarden Jahren. Der Radius des optischen Horizonts eines Beobachters beträgt rund 20 Milliarden Lichtjahre, also etwas mehr als im heute beobachtbaren Teil unseres Universums.

Engelbert Schücking, der heute an der New York University forscht, und István Ozsváth von der University of Texas in Dallas haben Dauer und Aufwand einer kosmischen Zeitreise abgeschätzt. Ausgangspunkt war die effektivste Nutzung eines Treibstoffs überhaupt – die vollständige Materie-Umwandlung in Energie. Dann müsste das nötige Antriebsmaterial der Rakete in der Größenordnung von 1022/t2 mal der Masse des Schiffs liegen, um die Reise in t Jahren zu vollenden (gemessen im Bezugssystem des Reisenden). Das gilt für Zeiten weit kleiner als 1011 Jahren.

Um 100 Jahre in die Vergangenheit zu reisen, bräuchte man ungefähr die Masse der Erde. Die Reise selbst würde aber acht Billionen Jahre dauern. Um die Reise in wenigen Jahrzehnten zu machen, wäre ein Mehrfaches des Treibstoffs nötig.

Setzt man in Gödels Modell elektromagnetische Felder ein, könnte ein Reisender in einem hinreichend aufgeladenen Raumschiff freilich auf einen Raketenantrieb verzichten und bräuchte bloß abzuwarten, bis er in seiner eigenen Vergangenheit ankommt. Das hat John Earman von der University of Pittsburgh berechnet.

Praktische Hindernisse sind sowieso kein prinzipielles Argument. Und so lässt sich die Möglichkeit von Zeitreisen – und den damit verbundenen Paradoxien – nicht einfach aus dem Gödel-Universum verbannen. Gödel war von diesem Ergebnis so irritiert, dass er die Realität der Zeit ganz leugnete: „Die bloße naturgesetzliche Möglichkeit von Welten, in denen keine absolute Zeit definierbar ist und in denen es daher auch keinen objektiven Zeitverlauf geben kann, wirft Licht auf die Bedeutung der Zeit auch in jenen Welten, in denen eine absolute Zeit definierbar ist. Denn wenn jemand behauptet, diese Zeit habe einen Verlauf, nimmt er die Folgerung in Kauf, dass die Frage, ob es einen objektiven Zeitverlauf gibt oder nicht (das heißt, ob eine Zeit im gewöhnlichen Sinne des Wortes existiert oder nicht), von der besonderen Weise abhängt, in der die Materie und ihre Bewegung in der Welt angeordnet sind. Das ist kein zwingender Widerspruch. Aber eine philosophische Anschauung, die zu solchen Konsequenzen führt, kann kaum als befriedigend betrachtet werden.“

Das Verstreichen der Zeit könne keine reale Bedeutung haben, denn die Zeitreisen sind in Wirklichkeit Raumreisen. Man kann ja nur zur Vergangenheit zurückkehren, wenn sie irgendwie „da“ ist. „Für jede mögliche Definition einer Weltzeit könnte man in diesen Welten in Bereiche des Universums reisen, die gemäß dieser Definition der Vergangenheit angehören“, schrieb Gödel. „Dies aber zeigt, dass die Annahme eines objektiven Zeitverlaufs in diesen Welten jede Berechtigung verlieren würde.“ Demnach ist die Zeit gar kein objektives Merkmal unserer Welt. „Der Vergangenheit und der Zukunft wird die Wirklichkeit abgesprochen“, hatte der argentinische Schriftsteller Jorge Luis Borges in seinem Essay „Die kreisförmige Zeit“ (1943) einige Jahre zuvor schon diese Idee vorweggenommen.

„Jeder, der von Gödels Ergebnissen über die Zeit nicht schockiert ist, hat sie noch nicht hinreichend verstanden“, sagt der Philosoph Palle Yourgrau von der Brandeis University in Waltham, Massachusetts. In seiner gerade erschienenen spannenden Doppelbiografie „Gödel, Einstein und die Folgen“ beklagt er, dass viele Theoretische Physiker die Tragweite von Gödels Argumentation überhaupt noch nicht begriffen hätten. „Gödel benötigte nur sechs Seiten, um die Zeit zu besiegen.“ Gödel habe die Zeit „nicht illuminieren, sondern eliminieren“ wollen. „Aus der Sicht Gödels ist die Zeit selbst – und daher auch Geschwindigkeit und Bewegung – nur eine Illusion. Denn wenn wir die Vergangenheit wieder besuchen können, existiert sie ja immer noch.“ Und Yourgrau schreibt weiter: „Genau wie man bei einem Kreis nicht fragen kann, wie oft die Punkte, aus denen diese Figur besteht, herumgewandert sind, ist es auch nicht sinnvoll zu fragen, wie oft der Zeitreisende im Gödel’schen Universum seine Reise unternommen hat.“

Der Kern des Arguments findet sich schon in H. G. Wells Roman „Die Zeitmaschine“ – und das Zitat stellt Yourgrau auch seinem Zeitreise-Kapitel voran: „Die Wissenschaft weiß sehr wohl, dass Zeit eigentlich nur eine Form von Raum ist.“

Das kuriose Gödel-Universum ist noch immer ein beliebtes Lehrbuch-Beispiel in der relativistischen Kosmologie – und keineswegs im ideengeschichtlichen Museum verstaubt. Es wurde „zum Ausgangspunkt für eine Reihe wichtiger Entwicklungen auf dem Gebiet der Allgemeinen Relativitätstheorie“, sagt Heinz W. Rupertsberger. „Sie können unter dem Sammelbegriff von Untersuchungen der globalen Struktur von Raum und Zeit zusammengefasst werden, einem äußerst fruchtbaren Forschungsgebiet von gegenwärtig hohem Interesse.“ Der Forscher am Institut für Theoretische Physik der Universität Wien betonte auf einer großen Konferenz zum Thema Zeit im österreichischen Kirchberg am Wechsel letzten Sommer: „Gödels kosmologische Lösung der Allgemeinen Relativitätstheorie nimmt heute ihren festen Platz in der Literatur ein. Ihre Bedeutung ist allgemein anerkannt, und wegen ihrer besonders einfachen Form wird sie als Standardmodell für akausales Verhalten verwendet.“

1955 haben Engelbert Schücking und der inzwischen verstorbene Otto Heckmann gezeigt, dass sich ein rotierendes Gödel-Universum mit Zeitkreisen sogar im Rahmen der klassischen Gravitationstheorie von Isaac Newton formulieren lässt. Mit István Ozsváth hat Schücking diese Aspekte in einer Veröffentlichung aus dem Jahr 2001 vertieft.

1956 berechnete Wolfgang Kundt von der Universität Hamburg die Weltlinien in Gödel-Universen im Rahmen der Allgemeinen Relativitätstheorie mit einer anderen, eleganteren mathematischen Methode. 1961 tat Subrahmanyan Chandrasekhar von der University of Chicago mit seinem Studenten James Wright dasselbe, fand aber keine Zeitkreise und hielt Gödels Schlussfolgerungen für falsch. Es dauerte neun Jahre, bis der Philosoph und Mathematiker Howard Stein von der University of Chicago zeigte, dass die beiden Physiker sich geirrt hatten. Denn Gödel hatte nie behauptet, dass die Zeitkreise Geodäten (kürzeste Verbindungslinien) sind. Stattdessen sind beschleunigte Bewegungen für die Reise in die Vergangenheit nötig. Erst in den Siebzigerjahren begann somit Gödels Lösung allmählich die Beachtung zu erlangen, die sie verdiente.

Seit den Neunzigerjahren wurden viele andere Formen von Gödel-Universen konstruiert, mit anderen Feldern und komplexeren Gleichungen – im Rahmen der String- und Supergravitationstheorien zur Vereinheitlichung der Naturkräfte auch in fünf Dimensionen. Wichtige Untersuchungen stammen beispielsweise von Jerome Gauntlett und seinen Kollegen von der University of London sowie von Klaus Behrndt von der Universität München und Markus Pössel vom Max-Planck-Institut für Gravitationsphysik in Potsdam. Es zeigte sich, dass die globalen Zeitkreise nicht immer existieren, aber bei Anwesenheit von elektromagnetischen Feldern kaum zu vermeiden sind. Zeitreisen lassen sich allenfalls durch gewisse Zusatzbedingungen verhindern, etwa die Annahme von unpassierbaren Regionen zwischen uns und dem Weg in die Vergangenheit. Oder die Zeitschleifen existieren nur fünfdimensional, während unser Universum an der vierdimensionalen „Oberfläche“ angesiedelt wäre. „Immerhin könnte es dann zu interessanten Effekten aus der fünften Dimension für unsere vierdimensionale Welt kommen“, spekuliert Klaus Behrndt.

Freilich sinnen die Physiker auch darüber nach, ob sich Zeitschleifen nicht ganz vermeiden lassen. „Es gibt immer pathologische Lösungen der Feldgleichungen. Das heißt aber nicht, dass die Theorie falsch ist. Stattdessen muss man sich überlegen, warum diese Lösungen nicht in der Natur realisiert sind, wenn die Stringtheorie Zeitschleifen erlaubt“, sagt Behrndt. „Zum einen kann es sein, dass sie von unserer Beobachtung abgeschirmt sind wie beim Ereignishorizont um Schwarze Löcher. Oder sie lassen sich gar nicht erzeugen, wie Weiße Löcher, in die nichts hinein-, aber alles herausfliegen würde.“ Zur Abschirmung kommen etwa „Supertubes“ in Frage – rotierende, geladene Schwarze Löcher mit einer fast zylindrischen Form, die die Raumzeit förmlich abschneiden können, sodass keine Zeitschleifen entstehen.

Freilich ist unser Universum ohnehin nicht stationär, sondern dehnt sich aus, und hat auch keine negative, sondern eine effektive positive Kosmologische Konstante. Somit besitzt es nicht die physikalische Struktur des Gödel-Universums, das deshalb ein mathematisches Modell auf dem Papier bleibt. Allerdings hat Gödel 1952 in einer verallgemeinerten Untersuchung gezeigt, dass geschlossene zeitartige Weltlinien auch in räumlich homogenen, endlichen Universen auftreten können, die sich ausdehnen – die mittlere Materiedichte ist dabei nicht konstant. Für dieses Modell existieren aber keine exakten Lösungen.

Gödels Universum ist nur eine „schwache“ Zeitmaschine, da seine geschlossenen zeitartigen Kurven immer und an jedem Ort existieren und nicht erst „hergestellt“ werden müssen wie bei einer „starken“ Zeitmaschine.

Wenn unser Universum räumlich endlich ist und womöglich eine verrückte Topologie hat (etwa die Form eines vierdimensionalen Zylinders oder eines Rings), könnten wir am Himmel theoretisch die Milchstraße in ihrem Jugendstadium sehen. Ein Blick ins ferne All wäre dann ein Blick zurück in unsere eigene Vergangenheit, wie schon der 1989 verstorbene Physiker und Friedensnobelpreisträger Andrei Sacharow spekulierte. Diese Überlegungen sind nach wie vor aktuell. Eine „schwache“, aber dafür universale Zeitmaschine ist insofern auch heute noch nicht vollkommen ausgeschlossen, selbst wenn die Zeit dabei nicht notwendig kreisförmig zu sein braucht.

Als Gödel 1978 unter tragischen Umständen starb (er litt unter Verfolgungswahn und aß aus Angst vor Vergiftungen kaum noch etwas), fand man unter seinen Papieren viele voller Zahlenkolonnen – eine statistische Analyse der Orientierung von Rotationsachsen sehr vieler Galaxien. Gödel hatte anscheinend – vergeblich – versucht, aus ihrer Verteilung auf eine mögliche Rotation des Weltalls zu schließen. Bis heute gibt es keinen Hinweis auf eine solche kosmische Rotation. Die Obergrenze beträgt jedenfalls nicht mehr als eine Umdrehung alle 60 000 Milliarden Jahre – viel weniger, als es Gödels Lösung erfordert.

Der inzwischen über neunzigjährige John Archibald Wheeler, der Gödels Vortrag 1949 in Princeton gehört und auch mehrfach mit ihm gesprochen hatte, erinnert sich in seiner Autobiografie „Geons, Black Holes & Quantum Foam“ von 1998: „Gödels leidenschaftliche Besorgnis um seine Gesundheit, die so offenkundig war, entsprach einem ebenso leidenschaftlichen, wenn auch weniger offenkundigen Wunsch, Tod und Leben herauszufordern.“ ■



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